Gaussian dan Parabola untuk Mengkaji Flux bercahaya LED dari Lampu Eksperimen: 6 Langkah

2024 Pengarang: John Day | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-30 11:07

Helo kepada semua pembuat dan komuniti yang sibuk di Instructable.

Kali ini Merenel Research akan membawa kepada anda masalah penyelidikan yang murni dan cara untuk menyelesaikannya dengan matematik.

Saya menghadapi masalah ini sendiri semasa saya mengira fluks LED lampu LED RGB yang saya bina (dan yang akan saya ajar bagaimana membina). Setelah mencari secara dalam talian secara meluas, saya tidak menemui jawapan, jadi di sini saya hantar penyelesaiannya.

MASALAH

Selalunya dalam bidang fizik kita harus menghadapi keluk yang mempunyai bentuk taburan Gauss. Ya! Ini adalah lengkung berbentuk loceng yang digunakan untuk mengira kebarangkalian dan dibawa kepada kami dari Gauss ahli matematik yang hebat.

Keluk Gauss digunakan secara meluas dalam aplikasi fizik kehidupan nyata, terutama ketika kita harus menangani radiasi yang disebarkan dari sumber atau diterima dari penerima, misalnya:

- pelepasan kuasa isyarat radio (mis. Wi-Fi);

- fluks bercahaya yang dipancarkan dari LED;

- pembacaan fotodiod.

Dalam lembar data pengeluar, kita sering diberi nilai sebenarnya dari kawasan Gaussian, yang merupakan jumlah daya pancaran atau fluks bercahaya pada bahagian spektrum tertentu (misalnya LED), tetapi menjadi sukar untuk mengira radiasi sebenar dipancarkan pada puncak lekukan atau lebih sukar untuk mengetahui radiasi bertindih dari dua sumber yang dekat, misalnya jika kita menerangi dengan lebih daripada LED (contohnya Biru dan Hijau).

Dalam kertas pengajaran ini, saya akan menerangkan kepada anda cara menghampiri Gaussian dengan cara lengkung yang lebih mudah dipahami: parabola. Saya akan menjawab soalan: berapa banyak keluk Gauss di Parabola?

SPOILER → JAWAPAN ADALAH:

Kawasan Gaussian selalu 1 unit.

Luas parabola yang sesuai dengan dasar dan ketinggian yang sama adalah 2.13 kali lebih besar daripada kawasan Gaussian relatif (lihat gambar untuk demonstrasi grafik).

Jadi seorang Gaussian adalah 46.94% parabola dan hubungan ini selalu berlaku.

Kedua-dua nombor ini dihubungkan dengan cara ini 0.46948 = 1 / 2.13, ini adalah hubungan matematik yang ketat antara lengkung Gaussian dan parabola-nya dan sebaliknya.

Dalam panduan ini saya akan menuntun anda menemui langkah demi langkah ini.

Satu-satunya instrumen yang kita perlukan ialah Geogebra.org, alat matematik dalam talian yang hebat untuk melukis carta.

Carta Geogebra yang saya buat untuk membandingkan parabola dengan Gaussian terdapat di pautan ini.

Pengajaran ini panjang lebar kerana berkaitan dengan demonstrasi, tetapi jika anda perlu menyelesaikan masalah yang sama dengan fluks bercahaya LED, atau fenomena lain dengan lekuk Gauss yang bertindih, sila lompat ke hamparan yang akan anda lampirkan pada langkah ini 5 panduan ini, yang akan menjadikan hidup anda lebih mudah dan membuat semua pengiraan untuk anda secara automatik.

Saya harap anda menyukai matematik terapan kerana pengajaran ini boleh dilakukan.

Langkah 1: Memahami Cahaya yang Dipancarkan Dari LED Monokromatik

Dalam analisis ini saya akan mempertimbangkan satu siri LED berwarna, seperti yang anda lihat dengan jelas dari carta spektrum mereka (gambar pertama) taburan kuasa spektrum mereka benar-benar kelihatan seperti Gaussian yang menyatu menjadi paksi x pada -33 dan + 33nm min (pengeluar biasanya memberikan spesifikasi ini). Walau bagaimanapun, pertimbangkan bahawa perwakilan carta ini menormalkan semua spektrum pada satu unit kuasa, tetapi LED mempunyai daya yang berbeza mengikut seberapa efisien dihasilkan dan berapa banyak arus elektrik (mA) yang anda masukkan ke dalamnya.

Seperti yang anda lihat kadang-kadang fluks bercahaya dua LED bertindih pada spektrum. Katakanlah bahawa saya dengan mudah ingin mengira kawasan tumpang tindih lengkung tersebut, kerana di kawasan itu akan ada jumlah kuasa yang berlipat ganda dan saya ingin tahu berapa banyak daya dalam temuan lumen (lm) yang kita ada di sana, baik itu tidak satu tugas mudah yang akan kami cuba jawab dalam panduan ini. Masalahnya timbul kerana semasa saya membina lampu eksperimen, saya benar-benar ingin mengetahui berapa banyak spektrum Biru dan Hijau bertindih.

Kami hanya akan memfokuskan pada LED monokromatik yang memancarkan pada bahagian spektrum yang sempit. Dalam carta: ROYAL BLUE, BLUE, GREEN, ORANGE-MED, MERAH. (Lampu sebenar yang saya bina ialah RGB)

LATAR BELAKANG FIZIK

Mari kita mundur sedikit dan buat sedikit penjelasan fizik pada mulanya.

Setiap LED mempunyai warna, atau lebih ilmiah kita akan mengatakan bahawa mempunyai panjang gelombang (λ) yang menentukannya dan yang diukur dalam nanometer (nm) dan λ = 1 / f, di mana f adalah frekuensi ayunan foton.

Jadi apa yang kita panggil RED pada dasarnya adalah sekumpulan foton (hebat) yang berayun pada 630nm, foton tersebut memukul jirim dan melantun di mata kita, yang bertindak sebagai reseptor, dan kemudian otak anda memproses warna objek sebagai MERAH; atau foton boleh masuk langsung ke mata anda dan anda akan melihat LED yang memancarkannya bersinar dengan warna MERAH.

Didapati bahawa apa yang kita sebut cahaya sebenarnya hanyalah sebahagian kecil dari Spektrum Elektromagnetik, antara 380nm dan 740nm; jadi cahaya adalah gelombang elektromagnetik. Yang ingin tahu mengenai bahagian spektrum itu adalah tepatnya bahagian spektrum yang lebih mudah melewati air. Tahu tak? Nenek moyang kuno kita dari Sup Primordial di mana sebenarnya di dalam air, dan di dalam air di mana makhluk hidup pertama yang lebih kompleks mula berkembang mata. Saya mencadangkan anda untuk menonton video oleh Kurzgesagt yang saya lampirkan untuk lebih memahami apa itu cahaya.

Untuk menyimpulkan LED memancarkan cahaya, yang merupakan kuantiti daya radiometrik (mW) pada panjang gelombang tertentu (nm).

Biasanya, ketika kita berhadapan dengan cahaya yang dapat dilihat, kita tidak berbicara mengenai daya radiometrik (mW) tetapi mengenai fluks bercahaya (lm), yang merupakan unit ukuran yang ditimbang pada tindak balas terhadap cahaya mata manusia yang dapat dilihat, ia berasal dari candela unit ukuran, dan ia diukur dalam lumen (lm). Dalam pembentangan ini, kita akan mempertimbangkan LED yang dipancarkan bentuk lumen tetapi semuanya akan berlaku pada mW pada tahap yang sama.

Dalam mana-mana lembaran data LED, pengeluar akan memberi anda maklumat berikut:

Contohnya dari lembaran data yang dilampirkan ini, anda melihat bahawa jika anda mengaktifkan kedua-duanya dengan 100mA, anda mempunyai:

BLUE berada pada 480nm dan mempunyai 11lm fluks bercahaya;

HIJAU berada pada 530nm dan mempunyai 35lm fluks bercahaya.

Ini bermaksud bahawa Keluk Gaussian Biru akan lebih tinggi, ia akan melonjak lebih tinggi, tanpa mengubah lebarnya dan ia akan berayun di sekitar bahagian yang dibatasi oleh garis biru. Dalam makalah ini saya akan menerangkan bagaimana mengira ketinggian Gaussian yang menyatakan daya puncak penuh yang dipancarkan oleh LED, bukan hanya daya yang dipancarkan di bahagian spektrum itu, sayangnya nilainya akan lebih rendah. Selanjutnya, saya akan cuba menghampiri bahagian kedua LED yang bertindih untuk memahami berapa banyak fluks bercahaya yang bertindih ketika kita berhadapan dengan LED yang "berjiran" dalam spektrum.

Mengukur arus LED adalah perkara yang sangat rumit, jika anda ingin mengetahui lebih lanjut, saya telah memuat naik makalah terperinci oleh Osram yang menerangkan bagaimana semuanya dilakukan.

Langkah 2: Pengenalan Parabola

Saya tidak akan membahas dengan terperinci mengenai apa itu parabola kerana ia dipelajari secara meluas di sekolah.

Persamaan parabola boleh ditulis dalam bentuk berikut:

y = ax ^ 2 + bx + c

ARCHIMEDES MEMBANTU KAMI

Apa yang ingin saya gariskan ialah teorem geometri penting oleh Archimedes. Apa yang dinyatakan oleh teorema ialah luas parabola yang dibatasi dalam segi empat sama dengan 2/3 dari kawasan segi empat tepat. Pada gambar pertama dengan parabola anda dapat melihat bahawa kawasan biru adalah 2/3 dan kawasan merah jambu adalah 1/3 dari luas segi empat tepat.

Kita dapat mengira parabola dan persamaannya dengan mengetahui tiga titik parabola. Dalam kes kami, kami akan mengira bucu dan kami mengetahui persimpangan dengan paksi x. Contohnya:

BLUE LED Vertex (480,?) Y dari bucu sama dengan daya bercahaya yang dipancarkan pada panjang gelombang puncak. Untuk menghitungnya, kita akan menggunakan hubungan yang wujud antara kawasan Gaussian (fluks sebenar yang dipancarkan oleh LED) dan parabola dan kita akan menggunakan teorema Archimedes untuk mengetahui ketinggian segi empat tepat yang mengandungi parabola itu.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

MODEL PARABOLIK

Melihat gambar yang telah saya muat naik, anda dapat melihat model yang kompleks untuk mewakili dengan parabolas beberapa fluks bercahaya LED yang berbeza, tetapi kami tahu bahawa perwakilan mereka tidak seperti itu kerana menyerupai lebih banyak Gaussian.

Walau bagaimanapun, dengan parabola, menggunakan formula matematik kita dapat mencari semua titik persimpangan dari beberapa parabola dan mengira kawasan yang bersilang.

Pada langkah 5, saya telah melampirkan hamparan di mana saya telah meletakkan semua formula untuk mengira semua parabola dan kawasan mereka yang bersilang pada LED monokromatik.

Biasanya, asas Gaussian LED besar 66nm, jadi jika kita mengetahui panjang gelombang yang dominan dan kita menghampiri radiasi LED dengan parabola kita tahu bahawa parabola relatif akan memotong paksi x di λ + 33 dan λ-33.

Ini adalah model yang menghampiri jumlah LED yang dipancarkan dengan parabola. Tetapi kita tahu bahawa jika kita ingin tepat itu tidak tepat, kita perlu menggunakan lekuk Gauss, yang membawa kita ke langkah berikutnya.

Langkah 3: Pengenalan Keluk Gauss

Gaussian itu adalah lekukan yang akan terdengar lebih kompleks daripada parabola. Ia dicipta oleh Gauss untuk menafsirkan kesalahan. Sebenarnya, keluk ini sangat berguna untuk melihat taburan kemungkinan suatu fenomena. Sejauh kita bergerak ke kiri atau kanan dari rata-rata kita mempunyai fenomena tertentu yang lebih jarang dan seperti yang anda lihat dari gambar terakhir, lengkung ini adalah penghampiran kejadian kehidupan yang sangat baik.

Formula Gaussian adalah formula menakutkan yang anda lihat sebagai gambar kedua.

Hartanah Gauss adalah:

- itu adalah simetri terhadap maksud;

- x = μ tidak hanya bertepatan dengan min aritmetik tetapi juga dengan median dan mod;

- asimtotik pada paksi x di setiap sisi;

- ia berkurang untuk xμ;

- ia mempunyai dua titik belokan dalam x = μ-σ;

- kawasan di bawah lengkung adalah 1 unit (kebarangkalian mana-mana x akan mengesahkan)

σ adalah sisihan piawai, semakin besar bilangan semakin luas pangkalan Gaussian (gambar pertama). Sekiranya nilai berada di bahagian 3σ, kita akan tahu bahawa nilai itu benar-benar menjauh dari nilai min dan tidak ada kemungkinan untuk itu berlaku.

Dalam kes kami, dengan LED, kami mengetahui kawasan Gaussian yang merupakan fluks bercahaya yang diberikan dalam lembar data pengeluar pada puncak panjang gelombang tertentu (yang berarti).

Langkah 4: Demonstrasi Dengan Geogebra

Pada bahagian ini saya akan memberi tahu anda bagaimana menggunakan Geogebra untuk menunjukkan bahawa parabola adalah 2.19 kali ganda daripada Gaussiannya.

Mula-mula anda harus membuat beberapa pemboleh ubah, mengklik pada arahan slaid:

Sisihan piawai σ = 0.1 (sisihan piawai menentukan seberapa luas lengkung Gauss, saya meletakkan nilai kecil kerana saya ingin menjadikannya sempit untuk mensimulasikan taburan kuasa spektrum LED)

Maksudnya adalah 0 sehingga Gaussian dibina pada paksi y, di mana lebih mudah untuk berfungsi.

Klik pada fungsi gelombang kecil untuk mengaktifkan bahagian fungsi; di sana dengan mengklik fx anda boleh memasukkan formula Gaussian dan anda akan melihat muncul di layar Gaussian Curve tinggi yang bagus.

Secara grafik anda akan melihat di mana lengkung menyatu pada paksi x, dalam kes saya di X1 (-0.4; 0) dan X2 (+0.4; 0) dan di mana bucu berada di V (0; 4).

Dengan tiga titik ini, anda mempunyai maklumat yang mencukupi untuk mencari persamaan parabola. Sekiranya anda tidak mahu membuat pengiraan dengan tangan, sila gunakan laman web ini atau hamparan pada langkah seterusnya.

Gunakan perintah fungsi (fx) untuk mengisi fungsi parabola yang baru anda temukan:

y = -25x ^ 2 +4

Sekarang kita harus memahami berapa banyak orang Gauss yang berada dalam parabola.

Anda harus menggunakan perintah fungsi dan memasukkan perintah Integral (atau Integrale dalam kes saya, seperti yang saya gunakan versi Itali). Integral pasti adalah operasi matematik yang membolehkan kita mengira luas fungsi yang ditentukan antara nilai hingga x. Sekiranya anda tidak ingat apa itu integral pasti, baca di sini.

a = Integral (f, -0.4, +0.4)

Formula Geogebra ini akan menyelesaikan kamiran yang ditentukan antara -0.4 dan +0.4 fungsi f, Gaussian. Oleh kerana kita berurusan dengan Gaussian kawasannya adalah 1.

Lakukan perkara yang sama untuk parabola dan anda akan menemui nombor sihir 2.13. Yang merupakan nombor utama untuk melakukan semua penukaran fluks bercahaya dengan LED.

Langkah 5: Contoh Kehidupan Sebenar Dengan LED: Mengira Flux Peak dan Flux Bertindih

FLUX LUMIN PADA Puncak

Untuk mengira ketinggian sebenar lekukan Gaussian pengedaran fluks LED, sekarang kita telah menemui faktor penukaran 2.19, sangat mudah.

sebagai contoh:

BLUE LED mempunyai 11lm fluks bercahaya

- kita menukar fluks ini dari Gaussian ke parabola 11 x 2.19 = 24.09

- kami menggunakan Teorema Archimedes untuk mengira luas segiempat tepat yang mengandungi parabola 24.09 x 3/2 = 36.14

- kita dapati ketinggian segi empat tepat yang membahagi untuk pangkalan Gaussian untuk LED BIRU, yang diberikan dalam lembar data atau dilihat pada carta lembaran data, biasanya sekitar 66nm, dan itulah kekuatan kita pada puncak 480nm: 36.14 / 66 = 0.55

KAWASAN LUAR BIASA YANG TERLALU LUAR BIASA

Untuk mengira dua sinaran bertindih, saya akan menerangkan dengan contoh dengan dua LED berikut:

BLUE pada 480nm dan mempunyai 11lm fluks bercahaya HIJAU berada pada 530nm dan mempunyai 35lm fluks bercahaya

Kami tahu dan kami melihat dari carta bahawa kedua lengkung Gaussian berkumpul di -33nm dan + 33nm, akibatnya kami tahu bahawa:

- BLUE memotong paksi x dalam jarak 447nm dan 531nm

- HIJAU memotong paksi x dalam 497nm dan 563nm

Kami melihat dengan jelas bahawa kedua-dua lengkung berpotongan sebagai ujung yang pertama adalah selepas permulaan yang lain (531nm> 497nm) sehingga cahaya kedua LED ini bertindih di beberapa titik.

Mula-mula kita mesti mengira persamaan parabola untuk kedua-duanya. Spreadsheet yang dilampirkan ada untuk membantu anda membuat pengiraan, dan telah menyertakan formula untuk menyelesaikan sistem persamaan untuk menentukan dua parabola yang mengetahui titik persilangan sumbu x dan bucu:

Parabola BIRU: y = -0.0004889636025x ^ 2 + 0.4694050584x -112.1247327

Parabola HIJAU: y = -0.001555793281x ^ 2 + 1.680256743x - 451.9750618

dalam kedua-dua kes a> 0 dan, jadi parabola menunjuk terbalik dengan betul.

Untuk membuktikan bahawa parabola ini betul, isikan a, b, c di kalkulator bucu di laman web kalkulator parabola ini.

Pada spreadsheet semua kalkulus sudah dibuat untuk mencari titik persimpangan antara parabolas dan untuk mengira kamiran pasti untuk mendapatkan kawasan persilangan dari parabola tersebut.

Bagi kami, kawasan yang bersilang dengan spektrum LED biru dan hijau adalah 0.4247.

Sebaik sahaja kita mempunyai parabola bersilang, kita dapat melipatgandakan kawasan persilangan yang baru didirikan ini untuk pengganda Gaussian 0.4694 dan mendapatkan perkiraan yang sangat dekat mengenai berapa banyak daya yang dipancarkan LED secara keseluruhan di bahagian spektrum tersebut. Untuk mencari fluks LED tunggal yang dipancarkan di bahagian itu bahagikan dengan 2.

Langkah 6: Kajian LED Monokromatik Lampu Eksperimen Kini Selesai

Baiklah, terima kasih banyak kerana membaca penyelidikan ini. Saya harap ini berguna bagi anda untuk memahami dengan mendalam bagaimana cahaya dipancarkan dari lampu.

Saya sedang mengkaji fluks LED lampu khas yang dibuat dengan tiga jenis LED monokromatik.

"Bahan" untuk membuat lampu ini adalah:

- 3 LED BLU

- 4 LED HIJAU

- 3 LED MERAH

- 3 perintang untuk menghadkan arus di cawangan litar LED

- Bekalan kuasa 12V 35W

- Penutup Akrilik timbul

- Kawalan OSRAM OT BLE DIM (unit kawalan LED Bluetooth)

- Papan pemanas aluminium

- M5 tebal dan kacang dan kurungan L

Kawal semuanya dengan APP Casambi dari telefon pintar anda, anda boleh menghidupkan dan meredupkan setiap saluran LED secara berasingan.

Untuk membina lampu sangat mudah:

- pasangkan LED ke sinki dengan pita dua sisi;

- solder semua LED BLU secara bersiri dengan perintang, dan lakukan perkara yang sama dengan warna lain untuk setiap cabang litar. Menurut LED yang akan anda pilih (saya menggunakan Lumileds LED) anda harus memilih ukuran perintang berkaitan dengan berapa banyak arus yang akan anda masukkan ke dalam LED dan jumlah voltan yang diberikan oleh bekalan kuasa 12V. Sekiranya anda tidak tahu bagaimana melakukan ini, saya sarankan anda membaca petunjuk hebat ini tentang cara menentukan ukuran perintang untuk menghadkan arus serangkaian LED.

- sambungkan wayar ke setiap saluran Osram OT BLE: semua positif utama cabang LED menuju ke umum (+) dan tiga negatif cabang masing-masing menuju ke -B (biru) -G (hijau) -R (merah).

- Kabelkan bekalan kuasa ke input Osram OT BLE.

Sekarang yang menarik dari Osram OT BLE ialah anda dapat membuat senario dan memprogram saluran LED, seperti yang anda lihat di bahagian pertama video saya meredupkan ketiga saluran dan di bahagian kedua video saya menggunakan beberapa senario cahaya pra-dibuat.

KESIMPULAN

Saya telah menggunakan matematik secara meluas untuk memahami dengan mendalam bagaimana aliran lampu ini akan merebak.

Saya sangat berharap bahawa anda telah mempelajari sesuatu yang berguna hari ini dan saya akan berusaha sebaik mungkin untuk membawa lebih banyak kes penyelidikan mendalam yang dapat dipelajari seperti ini.

Penyelidikan adalah kunci!

Sekian lama!

Pietro